Seminar of the Game and Decision Theory:

Najbardziej znanym polskim twierdzeniem jest twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach. Twierdzenie to ma wiele ciekawych dowodów kombinatorycznych. Jednak mniej znanym faktem jest to, że to twierdzenie - jak i twierdzenie Brouwera o punkcie stałym, a także twierdzenie o niezmienniczości obszaru - są prostą konsekwencją ogólniejszego twierdzenia Borsuka mówiącego, że jeśli odwzorowanie ciągłe określone jest na n-wymiarowej kuli i przyjmuje wartości w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej i jest homotopijne z odwzorowaniem nieparzystym to początek układu należy do wnętrza obrazu kuli poprzez to odwzorowanie.
W języku stopnia odwzorowania twierdzenie Borsuka można sformułować znacznie prościej: Stopień odwzorowania nieparzystego jest liczbą nieparzystą. Pomysł na podanie prostego dowodu powyższego twierdzenia pochodzi od Louisa Nirenberga, który w 2015 roku wraz z Nashem z rąk króla Norwegii otrzymał nagrodę Abela.

Seminarium będzie mieć charakter roboczy - będę chciał przede wszystkim naszkicować interesujący temat. Każdy ze zbioru użytkowników potrzebuje dostępu do pewnego dobra lub usługi (np. energii elektrycznej). Użytkownicy ci stanowią jeden z dwóch zbiorów wierzchołków grafu dwudzielnego, natomiast drugim są możliwe lokalizacje tego dobra (np. elektrownie). Problemem jest (1) optymalne, tzn. najtańsze, rozlokowanie dobra w sytuacji, gdy zarówno każdy użyty do tego wierzchołek grafu, jak i każdy użyty łuk, generuje koszty, i (2) sprawiedliwy podział tych minimalnych kosztów pomiędzy użytkowników. Taka sytuacja w naturalny sposób wyznacza grę kooperacyjną z użytkownikami jako graczami. Przedyskutuję pożądane właściwości, jakie powinien spełniać podział kosztów, i to, jak spisują się pod tym względem znane rozwiązania gier.

Ciągi de Bruijna rzędu n są to ciągi binarne o okresie 2^n, które w swoim okresie zawierają wszystkie różne słowa o długości n. Ciągi de Bruijna mają wiele zastosowań w kryptografii i telekomunikacji. Powstaje problem, jak praktycznie konstruować takie ciągi o możliwie dużym okresie, np. 2^100 lub większe. Jedną z metod jest zastosowanie liniowych rejestrów przesuwnych (rekurencji liniowych), ale ciągi takie nie są dobre kryptograficznie. Lepsze są ciągi generowane przez nieliniowe rejestry przesuwne (rekurencje nieliniowe). Problem jest ze znalezieniem rekurencji nieliniowych, które generują ciągi o maksymalnym okresie. Podamy metodę konstrukcji takich rekurencji opartą na teorii ciał skończonych i pojęciu logarytmu Zecha.

In this paper, we analyse a linear quadratic multistage game of extraction of a common renewable resource by many players with state de- pendent constraints for exploitation and innite time horizon. We analyse social optimum and Nash equilibrium for feedback information structure and compare the results obtained in both. For Nash equilibria, we obtain a value function that is contrary to intuitions from standard linear quadratic games. We also study introduction of a tax in order to enforce socially optimal be- haviour of the players. Besides, this game constitutes a counterexample to two techniques regarded as standard in computation of Nash equilibrium and/or optimal control.