Streszczenie:
Na bazie analizy głosowań jury w finale ostatniego konkursu Wieniawskiego powstała pewna metoda głosowania, która ma na celu ograniczyć manipulacje jurorów. Najpierw jurorzy głosują metodą Bordy, potem wyznaczana jest dla każdego uczestnika średnia punktacja jurorów. Następnie dla każdego jurora oblicza się odległość (według metryki "Manhattan" – ulicowej) jego punktacji od punktacji średniej i 20% (zaokrąglenia w dół) jurorów najbardziej odległych od średniej zostaje odrzuconych (ich nazwiska podaje się do wiadomości publicznej lub nie), a wynik się oblicza używając tylko punktacji pozostałych. Ta metoda ma dobre antymanipulacyjne własności, co potwierdzają rozważania teoretyczne i eksperymenty. W eksperymentach sprawdzono, jak manipulują respondenci używając różnych wariantów tej metody. Rozważania teoretyczne wskazują na wyższość tej metody w stosunku do metody polegającej na odrzucaniu skrajnych wyników. Problemem otwartym jest aksjomatyzacja. Powstaje pytanie, czy rzeczywiście zdarzają się kliki jurorów. Do odpowiedzi na to pytanie próbujemy wykorzystać teorię sieci.

Na seminarium przedstawimy twierdzenie o istnieniu zbioru łaczacego lub w pełni pokolorowanego sympleksu dla dowolnej triangulacji sympleksu. Pokazemy jak we wzglednie prosty sposób uzyskac tw. Bapata dla odpowiednio regularnych triangulacji sympleksu. Wskazemy jak mozna stad uzyskac lemat Gale’a o (wielo)pokryciu sympleksu. Postawimy tez pewien problem otwarty.
Prezentowane wyniki powstały we współpracy prelegenta i prof. A.Idzika.

Najbardziej znanym polskim twierdzeniem jest twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach. Twierdzenie to ma wiele ciekawych dowodów kombinatorycznych. Jednak mniej znanym faktem jest to, że to twierdzenie - jak i twierdzenie Brouwera o punkcie stałym, a także twierdzenie o niezmienniczości obszaru - są prostą konsekwencją ogólniejszego twierdzenia Borsuka mówiącego, że jeśli odwzorowanie ciągłe określone jest na n-wymiarowej kuli i przyjmuje wartości w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej i jest homotopijne z odwzorowaniem nieparzystym to początek układu należy do wnętrza obrazu kuli poprzez to odwzorowanie.
W języku stopnia odwzorowania twierdzenie Borsuka można sformułować znacznie prościej: Stopień odwzorowania nieparzystego jest liczbą nieparzystą. Pomysł na podanie prostego dowodu powyższego twierdzenia pochodzi od Louisa Nirenberga, który w 2015 roku wraz z Nashem z rąk króla Norwegii otrzymał nagrodę Abela.

Seminarium będzie mieć charakter roboczy - będę chciał przede wszystkim naszkicować interesujący temat. Każdy ze zbioru użytkowników potrzebuje dostępu do pewnego dobra lub usługi (np. energii elektrycznej). Użytkownicy ci stanowią jeden z dwóch zbiorów wierzchołków grafu dwudzielnego, natomiast drugim są możliwe lokalizacje tego dobra (np. elektrownie). Problemem jest (1) optymalne, tzn. najtańsze, rozlokowanie dobra w sytuacji, gdy zarówno każdy użyty do tego wierzchołek grafu, jak i każdy użyty łuk, generuje koszty, i (2) sprawiedliwy podział tych minimalnych kosztów pomiędzy użytkowników. Taka sytuacja w naturalny sposób wyznacza grę kooperacyjną z użytkownikami jako graczami. Przedyskutuję pożądane właściwości, jakie powinien spełniać podział kosztów, i to, jak spisują się pod tym względem znane rozwiązania gier.