Streszczenie:
W referacie zaproponuję pewne ujednolicone podejście do paru różnych klas wartości gier kooperacyjnych, definiowanych jako wartości oczekiwane udziałów graczy w zyskach koalicji złożonej ze wszystkich graczy przy losowym porządku jej powstawania. Przy każdym uporządkowaniu gracz zachowuje pewną ustaloną część swego krańcowego wkładu w koalicję złożoną z niego oraz jego poprzedników w tym uporządkowaniu, a reszta wkładu idzie do wspólnej puli, która na koniec jest w jakiś sposób dzielona pomiędzy wszystkich graczy. Pierwsze wartości tego typu wprowadził Joosten, który założył, że każdy z graczy w każdej konfiguracji zachowuje ten sam procent swego krańcowego wkładu, a zawartość wspólnego worka jest dzielona równo między wszystkich; wartości otrzymywane w ten sposób to tzw. egalitarne wartości Shapleya. Zamierzam przyjrzeć się wartościom powstającym przy bardziej wyszukanych regułach zachowywania własnej części wkładu i dzielenia wspólnego worka. Gdy wspólna pula jest dzielona równo, a udział gracza w jego wkładach zależy tylko od jego miejsca w uporządkowaniu, otrzymujemy podklasę wartości proceduralnych. Gdy zaś jedno i / lub drugie jest wyznaczone przez (być może nierówne) wagi przypisane graczom, dostajemy rozmaite interesujące niesymetryczne uogólnienia.

Streszczenie:
Na bazie analizy głosowań jury w finale ostatniego konkursu Wieniawskiego powstała pewna metoda głosowania, która ma na celu ograniczyć manipulacje jurorów. Najpierw jurorzy głosują metodą Bordy, potem wyznaczana jest dla każdego uczestnika średnia punktacja jurorów. Następnie dla każdego jurora oblicza się odległość (według metryki "Manhattan" – ulicowej) jego punktacji od punktacji średniej i 20% (zaokrąglenia w dół) jurorów najbardziej odległych od średniej zostaje odrzuconych (ich nazwiska podaje się do wiadomości publicznej lub nie), a wynik się oblicza używając tylko punktacji pozostałych. Ta metoda ma dobre antymanipulacyjne własności, co potwierdzają rozważania teoretyczne i eksperymenty. W eksperymentach sprawdzono, jak manipulują respondenci używając różnych wariantów tej metody. Rozważania teoretyczne wskazują na wyższość tej metody w stosunku do metody polegającej na odrzucaniu skrajnych wyników. Problemem otwartym jest aksjomatyzacja. Powstaje pytanie, czy rzeczywiście zdarzają się kliki jurorów. Do odpowiedzi na to pytanie próbujemy wykorzystać teorię sieci.

Na seminarium przedstawimy twierdzenie o istnieniu zbioru łaczacego lub w pełni pokolorowanego sympleksu dla dowolnej triangulacji sympleksu. Pokazemy jak we wzglednie prosty sposób uzyskac tw. Bapata dla odpowiednio regularnych triangulacji sympleksu. Wskazemy jak mozna stad uzyskac lemat Gale’a o (wielo)pokryciu sympleksu. Postawimy tez pewien problem otwarty.
Prezentowane wyniki powstały we współpracy prelegenta i prof. A.Idzika.

Najbardziej znanym polskim twierdzeniem jest twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach. Twierdzenie to ma wiele ciekawych dowodów kombinatorycznych. Jednak mniej znanym faktem jest to, że to twierdzenie - jak i twierdzenie Brouwera o punkcie stałym, a także twierdzenie o niezmienniczości obszaru - są prostą konsekwencją ogólniejszego twierdzenia Borsuka mówiącego, że jeśli odwzorowanie ciągłe określone jest na n-wymiarowej kuli i przyjmuje wartości w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej i jest homotopijne z odwzorowaniem nieparzystym to początek układu należy do wnętrza obrazu kuli poprzez to odwzorowanie.
W języku stopnia odwzorowania twierdzenie Borsuka można sformułować znacznie prościej: Stopień odwzorowania nieparzystego jest liczbą nieparzystą. Pomysł na podanie prostego dowodu powyższego twierdzenia pochodzi od Louisa Nirenberga, który w 2015 roku wraz z Nashem z rąk króla Norwegii otrzymał nagrodę Abela.