Na seminarium przedstawimy twierdzenie o istnieniu zbioru łaczacego lub w pełni pokolorowanego sympleksu dla dowolnej triangulacji sympleksu. Pokazemy jak we wzglednie prosty sposób uzyskac tw. Bapata dla odpowiednio regularnych triangulacji sympleksu. Wskazemy jak mozna stad uzyskac lemat Gale’a o (wielo)pokryciu sympleksu. Postawimy tez pewien problem otwarty.
Prezentowane wyniki powstały we współpracy prelegenta i prof. A.Idzika.

Najbardziej znanym polskim twierdzeniem jest twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach. Twierdzenie to ma wiele ciekawych dowodów kombinatorycznych. Jednak mniej znanym faktem jest to, że to twierdzenie - jak i twierdzenie Brouwera o punkcie stałym, a także twierdzenie o niezmienniczości obszaru - są prostą konsekwencją ogólniejszego twierdzenia Borsuka mówiącego, że jeśli odwzorowanie ciągłe określone jest na n-wymiarowej kuli i przyjmuje wartości w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej i jest homotopijne z odwzorowaniem nieparzystym to początek układu należy do wnętrza obrazu kuli poprzez to odwzorowanie.
W języku stopnia odwzorowania twierdzenie Borsuka można sformułować znacznie prościej: Stopień odwzorowania nieparzystego jest liczbą nieparzystą. Pomysł na podanie prostego dowodu powyższego twierdzenia pochodzi od Louisa Nirenberga, który w 2015 roku wraz z Nashem z rąk króla Norwegii otrzymał nagrodę Abela.

Seminarium będzie mieć charakter roboczy - będę chciał przede wszystkim naszkicować interesujący temat. Każdy ze zbioru użytkowników potrzebuje dostępu do pewnego dobra lub usługi (np. energii elektrycznej). Użytkownicy ci stanowią jeden z dwóch zbiorów wierzchołków grafu dwudzielnego, natomiast drugim są możliwe lokalizacje tego dobra (np. elektrownie). Problemem jest (1) optymalne, tzn. najtańsze, rozlokowanie dobra w sytuacji, gdy zarówno każdy użyty do tego wierzchołek grafu, jak i każdy użyty łuk, generuje koszty, i (2) sprawiedliwy podział tych minimalnych kosztów pomiędzy użytkowników. Taka sytuacja w naturalny sposób wyznacza grę kooperacyjną z użytkownikami jako graczami. Przedyskutuję pożądane właściwości, jakie powinien spełniać podział kosztów, i to, jak spisują się pod tym względem znane rozwiązania gier.

Ciągi de Bruijna rzędu n są to ciągi binarne o okresie 2^n, które w swoim okresie zawierają wszystkie różne słowa o długości n. Ciągi de Bruijna mają wiele zastosowań w kryptografii i telekomunikacji. Powstaje problem, jak praktycznie konstruować takie ciągi o możliwie dużym okresie, np. 2^100 lub większe. Jedną z metod jest zastosowanie liniowych rejestrów przesuwnych (rekurencji liniowych), ale ciągi takie nie są dobre kryptograficznie. Lepsze są ciągi generowane przez nieliniowe rejestry przesuwne (rekurencje nieliniowe). Problem jest ze znalezieniem rekurencji nieliniowych, które generują ciągi o maksymalnym okresie. Podamy metodę konstrukcji takich rekurencji opartą na teorii ciał skończonych i pojęciu logarytmu Zecha.